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Il frattale di Manderlbrot

La matematica della complessità


La matematica della complessità
27/08/2010, 10:08

Uno dei campi più affascinanti della matematica contemporanea è quello dello studio dei sistemi dinamici, che permette, attraverso l’uso del calcolatore e delle tecniche di computer graphics, di creare immagini uniche sia per bellezza che per complessità. La costruzione di tali immagini è caratterizzata da un processo cosiddetto reiterativo, ossia di continua ripetizione di una formula di calcolo. Ciò è osservabile, per chi è pratico di utilizzo di calcolatori, attraverso lo zooming di sezioni di queste immagini: difatti, se si utilizza l’ingrandimento di una parte dell’immagine ottenuta, si osserva facilmente che essa non è altro che una riproduzione, su più piccola scala dell’immagine superiore. La cosa interessante è che, effettuando un ulteriore zoom dell’immagine di dettaglio, si nota che esso riproduce ancora una volta la precedente immagine. E’ quasi come se ci si trovasse di fronte ad un processo ricorsivo di estensione infinita. Questo processo ricorda molto da vicino gli esperimenti fatti dagli scienziati sullo studio delle particelle di materia: ogni volta che essi indagano nel campo dell’infinitamente piccolo è come se si inerpicassero su una montagna scoscesa alla sommità della quale individuano una estesa pianura. Sembra che abbiano raggiunto il loro obiettivo finale, ma poi, di lì a poco, si accorgono che in fondo a quella pianura, lontanissima, si scorge una nuova altura; il traguardo successivo è quello di raggiungere quella altura e cominciare a scalarla. Il fenomeno della “invarianza” di scala (stessa immagine agli ennesimi ingrandimenti) è peculiare di oggetti geometrici denominati “frattali”(dal latino fractus, fratto). Il più famoso degli oggetti frattali è dato dalla formula "Zn + 1 = Zn2 + c” dove “Zn” e “c” sono numeri complessi. Questa formula frattale è dovuta allo studioso svizzero Benoit Mandelbrot. Il frattale di Mandelbrot è stato definito l’oggetto geometrico più complesso in assoluto.
La Natura lavora in maniera complessa e la geometria frattale sovente offre un metodo più idoneo per la definizione dei processi. Per citare un esempio, sulla base di questo assunto Elena Cubellis dell’Osservatorio Vesuviano, Gennaro Di Donna, Giuseppe Luongo e Adriano Mazzarella del Dipartimento di Geofisica e Vulcanologia dell’Università Federico II di Napoli, hanno pubblicato, alcuni anni fa, sul Journal of Volcanology and Geothermal Research, una interessante ricerca scientifica sulla simulazione dei meccanismi dei processi magmatici nei Campi Flegrei, attraverso il sistema di equazioni simultanee proposto, nel 1963, dal meteorologo americano Edward Lorenz. L’attrattore di Lorenz è noto per la sua straordinaria bellezza nella sua classica immagine a forma di farfalla. Un’iterazione di un singolo punto traccia il percorso di due spirali doppie che si dispongono come ali di una farfalla durante il volo. Queste spirali seguono il percorso per un certo tempo, poi, improvvisamente cambiano direzione con un’altra iterazione. Se si lascia calcolare all’infinito l’algoritmo, si osserva che le curve costituenti le spirali non tornano mai su loro stesse. Lorenz descrisse, in origine, con queste equazioni il moto di una turbina idraulica.
In ultima analisi la teoria può non trovare sostegno in tutti gli studiosi, ma, certamente, rappresenta un nuovo orientamento di pensiero nel tentativo di comprendere i fenomeni naturali.
 
 
 

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di Rossella Saluzzo
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